upd 2021/08/13:

搬博客时随便一看发现当时完全是在扯淡——矩阵乘法哪来交换律啊我的天...

已经修改了，误人子弟了真是抱歉...

还有，为了简便证明过程只证明了方阵的结合律，一般矩阵的结合律证明与此相似。

其实很naive...

证明的主要意义在于说明两种矩阵运算如有分配律，则有矩阵乘法的结合律的性质。

若有面向矩阵的二元运算 \(\oplus , \otimes\)​​，其中 \(\oplus\)​ 满足交换律，并且有 \(\otimes\)​ 对 \(\oplus\)​​ 的左、右分配律，即 \[ \begin{aligned} a \otimes ( b \oplus c ) = a \otimes b \oplus a \otimes c \\ ( b \oplus c ) \otimes a = b \otimes a \oplus c \otimes a \end{aligned} \] 据此定义矩阵乘法 \(A * B = C\) ，即 \[ C_{i,j} = \bigoplus _{k=1}^n A_{i,k} \otimes B_{k,j} \] （ \(A,B,C\) 为矩阵，用 \(A_{i,j}\) 表示矩阵 \(A\) 中第 \(i\) 行第 \(j\) 列的元素）

则矩阵乘法具有结合律： \[ (A*B)*C = A*(B*C) \]

证明：

\[ \begin{aligned} ( ( A*B ) *C ) _{i,j} &= \bigoplus_{k=1}^{n} (A*B)_{i,k} \otimes C_{k,j} \\ &= \bigoplus_{k=1}^{n} (\bigoplus_{l=1}^n A_{i,l} \otimes B_{l,k}) \otimes C_{k,j} \\ &= \bigoplus_{k=1}^{n} \bigoplus_{l=1}^n A_{i,l} \otimes B_{l,k} \otimes C_{k,j} \quad &\text{...分配律} \\ &= \bigoplus_{l=1}^{n} \bigoplus_{k=1}^n A_{i,l} \otimes B_{l,k} \otimes C_{k,j} \quad &\text{...交换律更换枚举} \\ &= \bigoplus_{l=1}^{n} A_{i,l} \otimes ( \bigoplus_{k=1}^n B_{l,k} \otimes C_{k,j} ) \quad &\text{...分配律} \\ &= \bigoplus_{l=1}^{n} A_{i,l} \otimes ({B*C})_{l,j} \\ &= (A*(B*C))_{i,j} \end{aligned} \]